Dotąd zajmowaliśmy się wyłącznie dwoma skrajnymi przypadkami, w których bądź to dominowały niepewności systematyczne, bądź też niepewności przypadkowe. Rzeczywiste pomiary nie mieszczą się w tych dwóch skrajnych kategoriach, wobec czego należy zastanowić się, jak postępować w przypadkach pośrednich, w których obydwa rodzaje niepewności są tego samego rzędu.

4.1. POMIARY BEZPOŚREDNIE

Jeżeli wielkość mierzona x obarczona jest kilkoma niepwnościami systematycznymi _rX dla r=1,2,...,R, to zamieniamy je na odchylenie standardowe zgodnie ze wzorem

a następnie obliczamy sumaryczne odchylenie standardowe związane z niepewnością systematyczną:

Dalej musimy uwzględnić niepewność przypadkową, której miarą będzie odchylenie standardowe dane równaniem (3.8) lub (3.9), otrzymując odchylenie standardowe całkowite

Przykład 10. Ocenić niepewność pomiaru wykonanego 5-krotnie sekundomierzem o dokładności ₁t = 0,1 s, w którym uzyskano wyniki: 6,7; 6,5; 6,8; 6.6; 6,7. Eksperymentator ocenił niepewność systematyczną wiązaną z wyborem chwili włączenia i wyłączenia sekundomierza na ₂t = 0,2 s oraz dokładność odczytu ₃t= 0,1 s.

Na niepewność całkowitą składają się niepewność przypadkowa S oraz 3 niepewności systematyczne ₁t, ₂t i ₃t. Jako niepewność przypadkową przyjmiemy odchylenie standardowe dla małej próby (n = 5), uzyskując

Niepewność całkowitą obliczamy korzystając z powyższego wzoru, otrzymując

Ostatecznie:

4.2. POMIARY POŚREDNIE

Chcemy wyznaczyć wielkość z i jej niepewność, mierzymy bezpośrednio x₁, x₂,...,x_n. Każda z wielkości x_i obarczona jest niepewnościami systematycznymi _rx_i oraz niepewnością przypadkową, której miarą jest odchylenie standardowe ze wzor. Najbliższą rzeczywistej wartości mz będzie wartość

obliczona ze wzoru

gdzie są średnimi arytmetycznymi odpowiednich wielkości x_i.

Miarą niepewności pomiarowej będzie odchylenie standardowe , które obliczamy w ten sposób, że najpierw zamieniamy niepewności systematyczne _rx_i na odchylenia standardowe, a potem stosujemy prawo przenoszenia odchyleń standardowych.

W rezultacie otrzymamy

Przykład 11: Celem wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego przeprowadzono pomiary czasu spadku ciała z pewnej wysokości. Wysokość spadku h zmierzono 6 razy linijką z podziałką milimetrową, uzyskując następujące wyniki (w mm)

h₁ = 127; h₂ = 126; h₃ = 127; h₄ = 128; h₅ = 128; h₆ = 127.

Czas spadku zmierzono 5-cio krotnie, otrzymując (w s)

t₁ = 0,509; t₂ = 0,511; t₃ = 0,507; t₄ = 0,508; t₅ = 0,509.

Dokładność linijki ₁h =1 mm, dokładność odczytu ₂h = 1 mm, niepewność systematyczna związana z ustawieniem linijki ₃h = 1 mm. Dokładność czasomierza ₁t = 0,001 s, niepewność systematyczna związana z wyborem chwili i wyłączenia i wyłączenia ₂t = 0,03 s. Obliczyć z tych danych przyspieszenie ziemskie i jego niepewność.

Przyspieszenie ziemskie będzie można obliczyć z następującego wzoru

Wartość g obliczymy podstawiając do powyższego równania średnie arytmetyczne

wysokości spadku i czasu spadku . Dla danych z tego przykładu

Stąd

Miarą niepewności pomiarowej tej wartości będzie odchylenie standardowe obliczone ze wzoru . Obliczmy najpierw pochodne cząstkowe:

W powyższym wzorze

są odchyleniami standardowymi związanymi z niepewnościami przypadkowymi.

Podstawiając wartości liczbowe do wzoru (4.3) otrzymujemy

Jak to łatwo spostrzec, niepewności związane z pomiarem czasu mają główny wpływ na .Wynik końcowy zapiszemy w postaci:

DALEJ