3.2. POPULACJA GENERALNA, PRÓBA, ESTYMATORY

Dokładne poznanie rozkładu normalnego wymaga wykonania nieskończonej ilości pomiarów, co oczywiście nie jest możliwe. Praktycznie dysponujemy jedynie skończoną, i zwykle niewielką ilością pomiarów. Nazwijmy zespół tych pomiarów próbą.
Próba może być duża, np. gdy ilość pomiarów n > 30, jak też i mała 10 < n < 30 , lub bardzo mała n < 10.
Termin próba pojawił się dzięki następującej analogii. Wyobraźmy sobie, że pojemnik zawiera nieskończenie wiele kul, zaś na każdej z nich napisany jest wynik pomiaru pewnej wielkości x, obarczony jedynie niepewnością przypadkową, podlegającą rozkładowi normalnemu N(,). Nazwijmy ten zbiór kul populacją generalną. W tej populacji najwięcej jest oczywiście kul, na których znajdują się liczby bliskie m, zaś kul z wartościami znacznie się różniącymi od m jest dużo mniej. Gdy wykonujemy np. pięciokrotny pomiar tej wielkości x, to jest tak, jakbyśmy pięciokrotnie losowali w sposób zupełnie przypadkowy kule z tej populacji generalnej. Liczby na tych wylosowanych kulach to właśnie wyniki naszych pomiarów. Powstaje pytanie, czy parametry obliczone z tych wartości pomiarowych pozwolą obliczyć odpowiednie parametry populacji generalnej tzn. i ? Parametry obliczone z próby celem uzyskania informacji o populacji generalnej nazywa się estymatorami. Estymatory są tym lepszym przybliżeniem parametrów z populacji, im są obliczone z próby o coraz większej liczebności. Należy podkreślić, że estymatory obliczone z próby, nie są identyczne z parametrami populacji ogólnej i same podlegają prawom statystyki.

Poniżej podamy bez dowodu estymatory dla próby dużej i małej.

Próba duża n > 30

a) Estymatorem wartości oczekiwanej m jest średnia arytmetyczna

b) Estymatorem odchylenia standardowego s jest odchylenie standardowe

z próby Sx

Próba mała i bardzo mała n < 30

a) Estymatorem wartości oczekiwanej m jest średnia arytmetyczna

b) Estymatorem odchylenia standardowego s jest odchylenie standardowe

dla małej próby

W powyższym wzorze tn jest współczynnikiem liczbowym, zależnym od ilości pomiarów n, zwanym wartością krytyczną rozkładu Studenta. Wartości tych współczynników podano w tabeli.

Sens fizyczny średniej arytmetycznej z próby jest oczywisty: jest to taka wartość, która najbardziej zbliżona jest do wartości rzeczywistej mierzonej wielkości. Nie twierdzimy, że jest ona dokładnie równa wartości rzeczywistej, bowiem powtórne wykonanie serii pomiarowej da nam z reguły inną wartość średniej arytmetycznej. Wartości średnie różnych prób same podlegają rozkładowi normalnemu z własnym odchyleniem standardowym (patrz dalej ).

Odchylenie standardowe z prób interpretujemy jako miarę niepewności przypadkowej pojedynczego pomiaru. Jest to wiekość inna niż niepewność przypadkowa średniej arytmetycznej, dla której miarą jest odchylenie standardowe średniej arytmetycznej

a) dużej próby n > 30

b) dla próby małej i bardzo małej n < 30

Jak tego należało oczekiwać, te ostatnie odchylenia standardowe są mniejsze od Sx, ponieważ w średniej niepewności "kasują się", zmniejszając w ten sposób niepewność pomiarową.

Przykład 6. Wykonano n = 8 pomiarów czasu zderzenia dwu metalowych kul

i uzyskano następujące wartości (wszystkie w ms): 125, 134, 121, 128,

127, 129, 130, 125. Obliczyć wartość średnią i odchylenie  standardowe. Wartość średnia

Niepewność pomiarowa pojedynczego pomiaru wynosi zatem 4,2 s, a niepewność średniej arytmetycznej wynosi 1,5 s. Ostatecznie zapiszemy

>

3.3. ROZKŁAD STUDENTA, ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WARTOŚCI

OCZEKIWANEJ

Dla prób o małej liczebności stosujemy zamiast rozkładu normalnego rozkład Studenta. Dla dużej próby jest on identyczny z rozkładem Gaussa, dla niewielkich wartości n krzywa Studenta jest bardziej płaska i odległość między punktami przegięcia jest większa niż dla rozkładu normalnego. Rozkład Studenta jest stabelaryzowany, ale zwykle nie interesuje nas ani gęstość prawdopodobieństwa, ani dystrybuanta, lecz tzw. wartości krytyczne t_n,a Parametr a, występujący jako wskaźnik przy t, nazywa się poziomem istotności, zaś (1 - a) nosi nazwę poziomu ufności.
(Używam litery a zamiennie, ze zwyczajowo używaną, literą ze względu na wygodę pisania).
Wartości t_n,a podane są w tabeli . Zauważmy, że t_n występujące we wcześniejszych wzorach jest wartością krytyczną t_n,a dla a = 0,317.

Sens poziomu istotności (lub poziomu ufności) wynika z poniższego równania

które mówi, że prawdopodobieństwo tego, że wartość Q leży w przedziale (q₁, q₂) jest równe 1 - a. Wartość a przyjmuje się dowolnie, jednakże w pomiarach fizycznych wybiera się ją tak, aby 1 - a było równe lub większe od 0,95. Oznacza to, że będziemy twierdzili coś z prawdopodobieństwem 95 % lub większym. Szerokość przedziału (q₁,q₂) zwanego przedziałem ufności zależy oczywiście od poziomu ufności. Im wyższy poziom ufności, tym szerszy przedział ufności.

Stosując rozkład Studenta, można udowodnić, że

Jest to bardzo ważne równanie, bowiem pozwala wnioskować o nieznanej rzeczywistej wartości () z obliczonej średniej arytmetycznej .

Przykład 7: Posługując się danymi z przykładu 6, podać przedział ufności dla

1 - a = 0,98.

Z tabeli odczytujemy wartość krytyczną t_8;0,02 = 2,998. Wyrażenie:
ma wartość równą

Stąd

Oznacza to, że nieznana wartość oczekiwana (czyli rzeczywista wartość czasu zderzenia kul)znajduje się z prawdopodobieństwem 98 % w przedziale:
(123,3s; 131,5s).

DALEJ